Differentialrechnung
Bei der Differentialrechnung suchen wir die Änderungsrate einer Funktion. Als Beispiel, in der Physik ist die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit. Die Beschleunigung eines Autos ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist wiederum die zeitliche Änderung des Weges.
Differenzquotient
\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) -f(x)}{\Delta x} \tag{1.1} \)
Steigung einer Tagente / Sekante
Ein anderes Wort für die Steigung bei der Differentialrechnung ist die Ableitung, die Änderung oder der Differenzquotient einer Funktion.
\( m = \tan \alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x} \tag{1.2} \)
Differenzquotient graphische Deutung
Ableitungsfunktion Schreibweise
\( y´, \thinspace f'(x), \thinspace \frac{dy}{dx} \tag{1.3} \)
Ableitungsregel
Faktorregel
Konstante Faktoren C bleiben beim Ableiten erhalten.
\( y(x) = C \cdot f(x) \rightarrow \thinspace y´(x) = C \cdot f´(x) \tag{1.4} \)
Summenregel
Die Summe der einzelnen Funktionen darf einzeln abgeleitet werden.
\( y(x) = f_1(x) + f_2(x) + f_n(x) \rightarrow \thinspace y´(x) = f_1´(x) + f_2´(x) + f_n´(x) \tag{1.5} \)
Potenzregel
\( y(x) = x^n \rightarrow \thinspace y´(x) = n \cdot x^{n-1} \tag{1.6} \)
Produktregel
\(y(x) = u(x) \cdot v(x) \rightarrow \thinspace y´(x) = u´(x)\cdot v(x)+u \cdot v´(x) \tag{1.7} \)
Kommt ein weiters Produkt dazu, z.B ein 3. Glied dann ist die 1. Ableitung
\(y(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) \tag{1.8} \)\( y´(x) = u´(x)\cdot v(x)\cdot w(x) +u(x) \cdot v´(x) \cdot w(x) + u(x)\cdot v(x)\cdot w´(x) \tag{1.9} \)
Quotientenregel
\( y(x) = \frac{u(x)}{ v(x)} \rightarrow \thinspace y´(x) = \frac{u´(x) \cdot v(x) \thinspace – u(x) \cdot v´(x)}{v(x)^2} \tag{1.10} \)
Kettenregel
Ist das Produkt aus der inneren und äußeren Ableitung
\( y(x) = F((u(x)) \rightarrow \thinspace y´(x) = F´(u) \cdot u´(x) \tag{1.11} \)
Weitere Ableitungen der elementaren Funktionen
\( y(x) = \sin(x) \rightarrow \thinspace y´(x) = \cos (x) \tag{1.12} \)
\( y(x) = ln(x) \rightarrow \thinspace y´(x) = \frac{1}{x} \tag{1.13} \)
\( y(x) = e ^{\pm \alpha x} \rightarrow \thinspace y´(x) = \pm \alpha e^{\pm \alpha x} \tag{1.14} \)
Tangentengleichung
Zur Ermittlung der Tangentengleichung für einen Punkt in einer Funktion (siehe Video) geht man wie folgt vor…
Gegeben ist die Funktion
\( y(x) = x^2 \tag{2.1} \)
Gesucht ist die Tangentengleichung für die Stelle P(3,9). Die 1.Ableiung ist
\( y´(x) = 2x \tag{2.2} \)
Für die Stelle x=3 haben wir die Steigung m=6
\( m = y´(x) = 2 \cdot 3 = 6 \tag{2.3} \)
Die allgemeine Gleichung einer Geraden ist. Der Schnittpunkt an der y-Achse ist b.
\( y(x) = mx + b \tag{2.4} \)
Aus der Steigung m haben wir
\( m = \frac{\Delta y }{\Delta x} \tag{2.5} \)
\( y -y_0 = m(x – x_0) \tag{2.6} \)
\( y – 9 = 6 \cdot (x – 3) \tag{2.7} \)
Die Tangentengleichung ist dann
\( y(x) = 6x – 9) \tag{2.8} \)
