Energiesatz und Bewegungsgleichung
Ein Stein fällt aus einer bestimmten Höhe in Bodennähe. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Steins kurz vor dem Aufprall am Boden? Wie lange braucht der Stein bis zum Boden? Der freie Fall mit der mechanischen Energiesatz oder Bewegungsgleichung? Welche Methode führt schneller zum Ergebnis? Aus dem Energiesatz lässt sich die Geschwindigkeit kurz vor dem Aufprall schneller bestimmen. Die Zeit bis zum Aufprall bekommen wir aus der Bewegungsgleichung.
Stein aus einer bestimmten Höhe fällt zu Boden
Weg-Zeit Gesetz
\( z(t) = \, – \frac{1}{2} g t^2 +v_0 t + z_0 \tag{1.1} \)
Geschwindigkeit-Zeit Gesetz
\( v(t) = \, – g t +v_0 \tag{1.2} \)
Die gesamte mechanische Energie bleibt zeitlich konstant.
Energiesatz
\(\frac{dE}{dt} = 0 \tag{2.1}\)
Die Gesamtenergie besteht aus der potentiellen Energie und kinetischen Energie.
\( E_{ges} = \frac{1}{2}mv^2 +mgz \tag{2.2} \)
Gleichung (1.1) und (1.2) in (2.2) eingefügt.
\( E_{ges} = \frac{1}{2}m (-gt +v_0)^2 +mg ( – \frac{1}{2} gt^2 +v_0 t +z_0) \tag{2.3} \)\( E_{ges} = \frac{1}{2} mg^2 t^2 + \frac{1}{2} m v^2_0 -mg tv_0 -\frac{1}{2}mg^2 t^2 +mgz_0 +mgv_0 t \tag{2.4} \)
\( E_{ges} = \frac{1}{2}mv^2_0 +mgz_0 = const \tag{2.4} \)
